Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x e^-y sen(1x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)x,e^-ysin!l(tfrac1x^2+y^2r)
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro observamos que sin está sempre entre -1 e 1, então
l|x,e^-ysin!l(tfrac1x^2+y^2r)r| <= |x|,e^-y
Como e^-y>0, podemos passar ao valor absoluto em y:
|x|,e^-y<= |x|,e^|y|

Passo 3

Definimos r=raizx^2+y^2. Então |x|<= r e |y|<= r, logo
|x|,e^|y|<= r,e^r
Como limrto0r,e^r=0, segue que
l|x,e^-ysin!l(tfrac1x^2+y^2r)r|<= r,e^rxrightarrow[rto0]0

Passo 4

Pela desigualdade acima e pelo Teorema do Confronto, temos
lim(x,y)to(0,0)x,e^-ysin!l(tfrac1x^2+y^2r)=0

Resposta

0

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