Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
T: P2 P2 tal que T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:P2toP2 por
Tl(x+y,t+z,t^2r)=y + x,t + z,t^2
Queremos verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de P2 formada por autovetores de T. Para isso, vamos (1) escrever a matriz de T em uma base conveniente, (2) achar os autovalores, (3) determinar as dimensões dos autoespaços, e (4) comparar com as multiplicidades algébricas.

Passo 2

Escolhendo a base padrão 1,,t,,t^2, calculamos
T(1)=t, T(t)=1, T(t^2)=t^2
Logo, a matriz de T nessa base é
A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda =(lambda^2-1),(1-lambda)

Passo 4

Das raízes de (lambda^2-1)(1-lambda)=0 obtemos os autovalores
lambda = 1 (mu<iplicidade algébrica 2), lambda = -1 (mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
logo .
Para ,
logo .

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3=dimP2 e coincide com a soma das multiplicidades algébricas, T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável, com autovalores lambda=1 (multiplicidade algébrica e geométrica igual a 2) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1).

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