Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável: tal que .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
Queremos verificar se é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de formada por autovetores de . Para isso, vamos (1) escrever a matriz de em uma base conveniente, (2) achar os autovalores, (3) determinar as dimensões dos autoespaços, e (4) comparar com as multiplicidades algébricas.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3=dimP2 e coincide com a soma das multiplicidades algébricas, T é diagonalizável.
Resposta
T é diagonalizável, com autovalores lambda=1 (multiplicidade algébrica e geométrica igual a 2) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1).