Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se A x=lambda x, então x é um autovetor de A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que
Ax = lambda x,
então x é um autovetor de A.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente a definição de autovalores e autovetores. Para responder, vamos lembrar exatamente o que é um autovetor.

Passo 2

Por definição, dizemos que x é um autovetor de A associado ao autovalor lambda se e somente se
1. Ax=lambdax,
2. xneq0.
Ou seja, além de satisfazer a igualdade, x não pode ser o vetor nulo.

Passo 3

A afirmação dada não menciona a condição xneq0. Sem esse requisito, qualquer vetor (inclusive o vetor nulo) que satisfaça Ax=lambdax seria considerado “autovetor”, o que contraria a definição habitual (o vetor nulo não é autovetor).

Passo 4

Contra-exemplo simples: seja
A = I2, lambda = 5, x = 00 = 0
Então
Ax = I20 = 0 e lambda x = 50 = 0,
logo Ax = lambdax vale, mas x=0 não é admitido como autovetor.

Resposta

A afirmação é Falsa. O contra-exemplo é x=0, que satisfaz Ax=lambdax mas não é autovetor.

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