Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
, então
é um autovetor de
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que
então
é um autovetor de
.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente a definição de autovalores e autovetores. Para responder, vamos lembrar exatamente o que é um autovetor.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente a definição de autovalores e autovetores. Para responder, vamos lembrar exatamente o que é um autovetor.
Passo 2
Por definição, dizemos que
é um autovetor de
associado ao autovalor
se e somente se
.
,
.
.
Ou seja, além de satisfazer a igualdade, não pode ser o vetor nulo.
Ou seja, além de satisfazer a igualdade,
Passo 3
A afirmação dada não menciona a condição
. Sem esse requisito, qualquer vetor (inclusive o vetor nulo) que satisfaça
seria considerado “autovetor”, o que contraria a definição habitual (o vetor nulo não é autovetor).
Passo 4
Contra-exemplo simples: seja
Então
logo
vale, mas
não é admitido como autovetor.
Resposta
A afirmação é Falsa. O contra-exemplo é
, que satisfaz
mas não é autovetor.