Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se é matriz , então possui infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz e pergunta se o sistema homogêneo
sempre possui infinitas soluções. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que afirma:
onde é o número de colunas de (a dimensão do espaço de incógnitas).
Passo 2
Aqui temos colunas, e sempre .
Pelo Teorema da Dimensão,
Se , então
ou seja, o núcleo de é e o único vetor solução é o trivial . Logo, o sistema não teria infinitas soluções nesse caso.