Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se A é matriz 5 times 4, então A X=0 possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado diz que é uma matriz e pergunta se o sistema homogêneo
sempre possui infinitas soluções. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que afirma:
onde é o número de colunas de (a dimensão do espaço de incógnitas).

Passo 2

Aqui temos colunas, e sempre .
Pelo Teorema da Dimensão,
Se , então
ou seja, o núcleo de é e o único vetor solução é o trivial . Logo, o sistema não teria infinitas soluções nesse caso.
Um contra-exemplo explícito é escolher
que é e tem . Para esse , leva a
como única solução.

Resposta

A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ,
pois nesse caso A X=0 só admite a solução trivial.

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