Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Definição: A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções
dessa equação são chamadas funções harmônicas.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace, ou seja, se ela satisfaz
. Esse é um problema de equações diferenciais parciais envolvendo funções harmônicas.
Passo 2
Uma função é harmônica quando a soma de suas segundas derivadas parciais é zero. Começamos calculando as derivadas parciais em relação a
:
e em seguida a segunda derivada:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais em relação a
:
e a segunda derivada:
Passo 4
Para checar a equação de Laplace, somamos as duas segundas derivadas:
Como o resultado é
e não
, a condição para ser harmônica não é satisfeita.
Resposta
A função u(x,y)=x²+y² não satisfaz a equação de Laplace e, portanto, não é solução (não é harmônica).