Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
u(x, y)=x^2+y^2
Definição: A equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções u(x, y) dessa equação são chamadas funções harmônicas.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função u(x,y)=x^2+y^2 é solução da equação de Laplace, ou seja, se ela satisfaz partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0. Esse é um problema de equações diferenciais parciais envolvendo funções harmônicas.

Passo 2

Uma função é harmônica quando a soma de suas segundas derivadas parciais é zero. Começamos calculando as derivadas parciais em relação a x:
partial upartial x=2x
e em seguida a segunda derivada:
partial^2 upartial x^2=2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a y:
partial upartial y=2y
e a segunda derivada:
partial^2 upartial y^2=2

Passo 4

Para checar a equação de Laplace, somamos as duas segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=2+2=4
Como o resultado é 4 e não 0, a condição para ser harmônica não é satisfeita.

Resposta

A função u(x,y)=x²+y² não satisfaz a equação de Laplace e, portanto, não é solução (não é harmônica).

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