Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Definição: A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções
dessa equação são chamadas funções harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
. Vamos usar a definição de derivadas parciais de segunda ordem para isso.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
em relação a
:
e então a segunda derivada:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas em relação a
:
e a segunda derivada:
Passo 4
Por fim, somamos as segundas derivadas parciais:
Como o resultado é zero, isso confirma que
Passo 5
Logo, concluímos que
é de fato uma função harmônica.
Resposta
Sim. Como
, a função
satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.