Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
u(x, y)=x^2-y^2
Definição: A equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções u(x, y) dessa equação são chamadas funções harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace uxx + uyy = 0. Vamos usar a definição de derivadas parciais de segunda ordem para isso.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de u(x,y)=x^2 - y^2 em relação a x:
nux = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x,
e então a segunda derivada:
nuxx = partialpartial x(2x) = 2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a y:
nuy = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y,
e a segunda derivada:
nuyy = partialpartial y(-2y) = -2

Passo 4

Por fim, somamos as segundas derivadas parciais:
nuxx + nuyy = 2 + (-2) = 0
Como o resultado é zero, isso confirma que u(x,y) satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Logo, concluímos que u(x,y)=x^2 - y^2 é de fato uma função harmônica.

Resposta

Sim. Como uxx + uyy = 2 + (-2) = 0, a função u(x,y)=x^2 - y^2 satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.

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