Verifique se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P^-1.
A=(ll 7 & -8 4 & -5 )

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 7 & -8 [6pt] 4 & -5
e pede para verificar se ela é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
Para isso vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de A.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Temos
chi(lambda) =det7-lambda & -8 [4pt]4 & -5-lambda =(7-lambda)(-5-lambda)-(-8)cdot4
=(7-lambda)(-5-lambda)+32 =-l(35+2lambda-lambda^2r)+32 =lambda^2-2lambda-3
]

Passo 3

Fatorando chi(lambda) obtemos
chi(lambda)=lambda^2-2lambda-3=(lambda-3)(lambda+1)
Logo os autovalores são
lambda1=3 e lambda2=-1, que são distintos.

Passo 4

Como os autovalores são distintos em R^2, a matriz é diagonalizável. Vamos achar os autovetores:
Para lambda=3:
A-3I =7-3 & -8 [4pt]4 & -5-3 =4 & -8 [3pt]4 & -8,
da equação 4x-8y=0 segue x=2y. Tomamos o autovetor
v1=21
Para lambda=-1:
A+I =7+1 & -8 [4pt]4 & -5+1 =8 & -8 [3pt]4 & -4,
da equação 8x-8y=0 segue x=y. Tomamos o autovetor
v2=11
]

Passo 5

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes, pois
detl(v1;v2r)=det2&11&1=1neq0.
Montamos então
P=2 & 1[3pt]1 & 1, D=3 & 0[3pt]0 & -1
Como det P=1, P é invertível e satisfaz A=P,D,P^-1.
]

Resposta

P=2 & 11 & 1,
\quad
D=3 & 00 & -1

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