Verifique se cada uma das sequências an=2 n-1n^3+4 n+2 a seguir são convergentes e calcule seus limites.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência (an)ninN, dada por
an = 2n - 1n^3 + 4n + 2,
converge e, caso positivo, encontrar seu limite. O conteúdo é limite de sequência racional em que temos uma razão de polinômios em n. Vamos usar o fato de que, quando n to infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau.

Passo 2

Para ver o limite, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de n, que é n^3. Assim obtemos
2n - 1n^3 + 4n + 2 = 2nn^3 - 1n^3n^3n^3 + 4nn^3 + 2n^3 = 2/n^2 - 1/n^31 + 4/n^2 + 2/n^3

Passo 3

Agora aplicamos as propriedades de limite: quando n to infty, temos 2/n^2 to 0, 1/n^3 to 0 e 4/n^2, 2/n^3 to 0. Logo o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto
limntoinfty an = 01 = 0

Resposta

0

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