Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{n}}{10{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty n^n10^n+1
Como os termos são positivos, vamos usar o critério da raiz enésima.

Passo 2

Defina
an = n^n10^n+1
Pelo critério da raiz, consideramos
rho = limntoinfty raiz[n]an

Passo 3

Calculemos
raiz[n]an = raiz[n]n^n10^n+1 = raiz[n]n^nraiz[n]10^n+1 = n10cdot 10^1/n
Como limntoinfty10^1/n=1, temos
rho = limntoinftyn10cdot 10^1/n = limntoinftyn10 = +infty

Passo 4

O critério da raiz diz que, se rho>1, a série diverge. Aqui rho=+infty>1, logo a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^n10^n+1 diverge.

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