Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{2}{n}\right){n} n !

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty n!l(tfrac2nr)^n
converge ou diverge. Como é uma série numérica com termos positivos, vamos usar o critério da razão de D’Alembert.

Passo 2

Defina an = n!l(tfrac2nr)^n. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!,l(tfrac2n+1r)^n+1n!,l(tfrac2nr)^n = (n+1);2^,n+1(n+1)^,n+1;n^,n2^,n =2l(tfracnn+1r)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão quando ntoinfty. Sabemos que
limntoinftyl(tfracnn+1r)^n =limntoinftyl(1-tfrac1n+1r)^n =e^-1,
logo
limntoinftyan+1an =2e^-1=2e

Passo 4

O teste da razão diz que se
L=limntoinftyan+1an<1,
então a série converge absolutamente (e, portanto, converge). Aqui
L=tfrac2e<1,
logo a série converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty n!l(tfrac2nr)^n
converge.

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