Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyn^nn!
converge ou diverge. Como todos os termos são positivos, podemos aplicar o Teste da Razão, que compara
L = limntoinftyan+1an
com 1 para concluir sobre convergência ou divergência.

Passo 2

Seja an = n^nn!. Então
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1(n+1),n^n = gl(n+1ngr)^n = l(1 + 1nr)^n
Tomando o limite,
L = limntoinftyl(1 + 1nr)^n = e

Passo 3

Como L=e>1, pelo Teste da Razão a série diverge (se L>1 a série de termos positivos diverge).

Resposta

A série diverge.

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