Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{1}{n}
\sum_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{1}{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral para séries numéricas e a expansão de Taylor de
em torno de
. Vamos precisar mostrar que o termo geral não tende a zero, o que já garante divergência.
Passo 2
Defina o termo geral da série como
Para
pequeno, a expansão de Taylor de
é
Substituindo
, obtemos
Multiplicando por
,
Passo 3
Como
a condição necessária para convergência de uma série (que o termo geral tenda a zero) não é satisfeita. Pelo teste do termo geral, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.