Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty n ,tan!l(tfrac1nr)
O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral para séries numéricas e a expansão de Taylor de tan x em torno de x=0. Vamos precisar mostrar que o termo geral não tende a zero, o que já garante divergência.

Passo 2

Defina o termo geral da série como
an = n ,tan!l(tfrac1nr)
Para x pequeno, a expansão de Taylor de tan x é
tan x = x + tfracx^33 + O(x^5)
Substituindo x = 1/n, obtemos
tan!l(tfrac1nr) = tfrac1n + tfrac13n^3 + Ol(tfrac1n^5r)
Multiplicando por n,
an = nl(tfrac1n + tfrac13n^3 + O(tfrac1n^5)r) = 1 + tfrac13n^2 + Ol(tfrac1n^4r)

Passo 3

Como
limntoinfty an = 1 neq 0,
a condição necessária para convergência de uma série (que o termo geral tenda a zero) não é satisfeita. Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n ,tanl(tfrac1nr) diverge.

Exercícios relacionados