Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy) para séries de termos positivos.
Passo 2
Denotamos o termo geral por
No Teste da Raiz calculamos
Se
a série converge absolutamente, se
diverge, e se
o teste falha.
Passo 3
Calculamos
Agora fazemos o limite
Passo 4
Como
, pelo Teste da Raiz a série
converge absolutamente, logo converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).