Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyl(n2n+1r)^n
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy) para séries de termos positivos.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
an=l(n2n+1r)^n
No Teste da Raiz calculamos
L=limntoinftyraiz[n]an
Se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge, e se L=1 o teste falha.

Passo 3

Calculamos
raiz[n]an =raiz[n]l(n2n+1r)^n =n2n+1
Agora fazemos o limite
L=limntoinftyn2n+1 =12<1

Passo 4

Como L=tfrac12<1, pelo Teste da Raiz a série sumn=1^inftyan converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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