Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\epsilon}}, \in>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty1n^1+epsilon,
onde epsilon>0. Isso é uma série do tipo “ p-série”, cujo comportamento de convergência só depende do expoente p.

Passo 2

Identificamos o parâmetro p da série:
p = 1 + epsilon
Como epsilon>0, segue que p>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da p-série, que diz:
– se p>1, então
sumn=1^infty1n^p
converge;
– se p<=1, diverge.
Aqui temos p=1+epsilon>1, logo a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^1+epsilon, com epsilon>0, converge.

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