Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{1}{2{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência da série
sumn=1^inftyl(12^n+13^nr)
O conteúdo aqui é soma de séries infinitas e, em particular, séries geométricas. Vamos usar que uma série geométrica
sumn=1^inftyr^n
converge se e só se |r|<1, e nesse caso
sumn=1^inftyr^n=r1-r

Passo 2

Note que
sumn=1^inftyl(12^n+13^nr) =sumn=1^infty12^n ;+;sumn=1^infty13^n
Então podemos estudar cada uma separadamente.

Passo 3

A primeira série é geométrica com razão r=tfrac12, pois
12^n=l(tfrac12r)^n
Como |tfrac12|<1, ela converge e
sumn=1^infty12^n =sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12 =1

Passo 4

A segunda série é geométrica com razão r=tfrac13, pois
13^n=l(tfrac13r)^n
Como |tfrac13|<1, ela também converge e
sumn=1^infty13^n =sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n =tfrac131-tfrac13 =12

Passo 5

A soma de duas séries convergentes é convergente e o valor total é
1 + 12 = 32

Resposta

A série converge e seu valor é 32.

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