Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3{n}}{2{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 1+3^n2^n
Este é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste da razão de D’Alembert, que compara a razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
an = 1+3^n2^n
O teste da razão diz que, se existe
L = limntoinfty|an+1an|,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1+3^n+12^n+11+3^n2^n = 1+3^n+12^n+1;cdot;2^n1+3^n = 1+3cdot3^n2,(1+3^n)

Passo 4

Para encontrar L, observamos o termo dominante quando ntoinfty:
L = limntoinfty1+3cdot3^n2,(1+3^n) = limntoinfty3^n(3+3^-n)2cdot3^n(1+3^-n) = 32 > 1
Como L>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados