Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3{n}+2{n}}{6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 3^n+2^n6^n
O conteúdo é séries numéricas, em particular séries geométricas, e vamos usar a propriedade de soma de séries e o fato de que toda série geométrica com razão em módulo menor que 1 converge.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral como soma de duas potências:
3^n+2^n6^n = 3^n6^n + 2^n6^n = l(36r)^n + l(26r)^n = l(tfrac12r)^n + l(tfrac13r)^n

Passo 3

Reconhecemos duas séries geométricas:
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n e sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n
Uma série geométrica sum r^n (com n começando em 1) converge exatamente quando |r|<1. Aqui temos r=tfrac12 e r=tfrac13, ambos com valor absoluto menor que 1, logo cada uma converge.

Passo 4

Como a soma de séries convergentes também converge, a série original
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n + sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n
é convergente.
Opcionalmente, podemos calcular seu valor:
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n = tfrac121-tfrac12 = 1, sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n = tfrac131-tfrac13 = tfrac12,
de modo que a soma total é 1 + tfrac12 = tfrac32.

Resposta

A série converge (e seu somatório é tfrac32).

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