Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série infinita
sumn=1^inftyn2^n
converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries numéricas e, em especial, o teste da razão de d’Alembert ou outro critério de convergência de séries.

Passo 2

O teste da razão de d’Alembert diz que, para uma série com termo geral an, se
L = limntoinfty|an+1an|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aqui an = n2^n. Calculamos:
an+1an = n+12^,n+1n2^n = n+12^,n+1cdot2^nn = n+12n
Logo,
L = limntoinfty n+12n = 12
Como tfrac12<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyn2^n converge absolutamente (logo converge).

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