Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}+7}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}+7}
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos saber se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de séries alternadas (teste de Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação com séries
).
Passo 2
Aplicando o teste de Leibniz para séries alternadas, definimos
Precisamos verificar duas coisas:
-
é decrescente para grande? -
?
Observamos que para
a função
é decrescente, então
. Além disso,
Passo 3
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante que
converge (pelo menos condicionalmente).
Passo 4
Agora verificamos convergência absoluta, analisando
Como para todo
n vale
e sabemos que
sum1/n^2 (série
p com
p=2>1 ) converge, então por comparação a série de termos absolutos também converge.
Resposta
A série
sumn=1^infty(-1)^n1n^2+7
converge absolutamente (portanto, converge).
converge absolutamente (portanto, converge).