Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}+7}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos saber se a série
sumn=1^infty(-1)^n,1n^2+7
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de séries alternadas (teste de Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação com séries p).

Passo 2

Aplicando o teste de Leibniz para séries alternadas, definimos
an = 1n^2+7,
Precisamos verificar duas coisas:
  1. an é decrescente para n grande?
  2. limntoinftyan=0?
Observamos que para n>=1 a função f(x)=1/(x^2+7) é decrescente, então an+1<an. Além disso,
limntoinftyan=limntoinfty1n^2+7=0

Passo 3

Como an é positiva, decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante que
sumn=1^infty(-1)^nan
converge (pelo menos condicionalmente).

Passo 4

Agora verificamos convergência absoluta, analisando
sumn=1^inftyl|(-1)^nanr| =sumn=1^infty1n^2+7
Como para todo n vale
1n^2+7<=1n^2,
e sabemos que sum1/n^2 (série p com p=2>1) converge, então por comparação a série de termos absolutos também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n1n^2+7
converge absolutamente (portanto, converge).

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