Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos aplicar o teste da comparação (ou limite de comparação) com a série
-séria
, que sabemos convergir pois
.
Passo 2
Para
grande temos
, e conhecemos a expansão
Logo
Passo 3
Aplicamos o teste de comparação por limite:
Como esse limite é um número real positivo, a série
tem o mesmo comportamento de
.
Passo 4
Sabemos que
é convergente (p-série com
). Logo, pela comparação de limite,
também converge.
Resposta
A série converge.