Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty sin1n^2
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos aplicar o teste da comparação (ou limite de comparação) com a série p-séria sum1/n^2, que sabemos convergir pois p=2>1.

Passo 2

Para n grande temos x=1n^2to0, e conhecemos a expansão
sin x = x + o(x) quando xto0
Logo
sin1n^2 sim 1n^2 (ntoinfty)

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite:
limntoinfty sin1n^21n^2 =limxto0sin xx =1
Como esse limite é um número real positivo, a série sum sin1n^2 tem o mesmo comportamento de sum 1n^2.

Passo 4

Sabemos que
sumn=1^infty1n^2
é convergente (p-série com p=2>1). Logo, pela comparação de limite,
sumn=1^inftysin1n^2
também converge.

Resposta

A série converge.

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