Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n^{2}+n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O tema envolve testes de convergência de séries alternadas (critério de Leibniz) e análise de convergência absoluta (comparação com a série harmônica). Vamos precisar simplificar o termo geral e aplicar esses dois testes.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o termo geral:
Logo a série fica
Passo 3
Definimos . Observamos que para :
.
, ou seja, é decrescente.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz para séries alternadas (se é positiva, decrescente e tende a zero, então converge), concluímos que
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Essa série é equivalente à série harmônica (apenas reindexada), e sabemos que sumn=1^infty1n+1
diverge.
Passo 6
Como a série converge quando alternada (teste de Leibniz) mas diverge em valor absoluto (série harmônica), ela converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^nnn^2+n converge condicionalmente.