Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty(-1)^n,nn^2+n
converge ou diverge. O tema envolve testes de convergência de séries alternadas (critério de Leibniz) e análise de convergência absoluta (comparação com a série harmônica). Vamos precisar simplificar o termo geral e aplicar esses dois testes.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:
nn^2+n ;=;nn(n+1) ;=;1n+1
Logo a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,1n+1

Passo 3

Definimos bn=1n+1. Observamos que para n>=1:
  1. bn>0.
  2. bn+1=1n+2<1n+1=bn, ou seja, é decrescente.
  3. limntoinftybn=limntoinfty1n+1=0

Passo 4

Pelo critério de Leibniz para séries alternadas (se (bn) é positiva, decrescente e tende a zero, então sum(-1)^nbn converge), concluímos que
sumn=1^infty(-1)^n,1n+1
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^ntfrac1n+1r|=sumn=1^infty1n+1
Essa série é equivalente à série harmônica (apenas reindexada), e sabemos que
sumn=1^infty1n+1
diverge.

Passo 6

Como a série converge quando alternada (teste de Leibniz) mas diverge em valor absoluto (série harmônica), ela converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nnn^2+n converge condicionalmente.

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