Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série de termos positivos
sumn=1^infty |sin n|n^2+1
converge ou diverge. O conteúdo utilizado será o teste da comparação direta para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
|sin n|<=1
e também
n^2+1>= n^2 Longrightarrow 1n^2+1<=1n^2
Logo, cada termo da série dada satisfaz
|sin n|n^2+1 ;<=; 1n^2

Passo 3

Sabemos que a série p-armônica
sumn=1^infty 1n^2
converge (pois é uma série com p=2>1). Como
0 <= |sin n|n^2+1<= 1n^2
e a série maior converge, pelo teste da comparação direta a série
sumn=1^infty |sin n|n^2+1
também converge.

Resposta

A série converge.

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