Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2{n}}{n{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty 2^nn^2
converge ou diverge. Estamos tratando de séries numéricas de termos positivos, então podemos aplicar o teste da razão (ou, alternativamente, o teste da raiz).

Passo 2

Definimos o termo geral
an = 2^nn^2
No teste da razão, calculamos o limite
L = limntoinfty |an+1an|

Passo 3

Primeiro escrevemos
an+1an = 2^n+1(n+1)^2 2^nn^2 = 2 ,n^2(n+1)^2
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty 2 ,n^2(n+1)^2 = 2 ,limntoinfty n^2(n+1)^2 = 2 cdot 1 = 2

Passo 4

Como no teste da razão temos L = 2>1, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty2^nn^2 diverge.

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