Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty12,n
converge ou diverge. O tema é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da constante e o fato de que a série harmônica sumn=1^infty tfrac1n diverge.

Passo 2

Primeiro, verificamos a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Neste caso,
an=12,n,
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limntoinftyan=limntoinfty12,n=0.
A condição é satisfeita, mas não garante convergência.

Passo 3

Em seguida, note que podemos tirar o fator constante tfrac12 fora da soma:
sumn=1^infty12,n =12sumn=1^infty1n
Pela propriedade de séries com termos não negativos, multiplicar por uma constante positiva não altera o fato de convergir ou divergir.

Passo 4

É conhecido que a série harmônica
sumn=1^infty1n
diverge. Portanto, ao multiplicá-la por tfrac12, o resultado também diverge.

Passo 5

Concluímos que
sumn=1^infty12,n
é divergente.

Resposta

A série diverge.

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