Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O tema é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da constante e o fato de que a série harmônica diverge.
converge ou diverge. O tema é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da constante e o fato de que a série harmônica
Passo 2
Primeiro, verificamos a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Neste caso,
,
logo
.
A condição é satisfeita, mas não garante convergência.
logo
A condição é satisfeita, mas não garante convergência.
Passo 3
Em seguida, note que podemos tirar o fator constante
fora da soma:
Pela propriedade de séries com termos não negativos, multiplicar por uma constante positiva não altera o fato de convergir ou divergir.
Passo 4
É conhecido que a série harmônica
diverge. Portanto, ao multiplicá-la por , o resultado também diverge.
diverge. Portanto, ao multiplicá-la por
Passo 5
Concluímos que
é divergente.
é divergente.
Resposta
A série diverge.