Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 1n ln n.
Note que ln 1=0, logo o termo n=1 não está definido, e devemos começar em n=2. O conteúdo da matéria é séries numéricas e usaremos o teste da integral para decidir convergência.

Passo 2

Verificamos que a função
f(x)=1x,ln x
é positiva e estritamente decrescente para x>= 2, condição necessária para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, analisando
integral2^infty dxx ln x

Passo 4

Fazemos a troca de variável u=ln x, de onde du=dxx. Assim
integral2^infty dxx ln x = integralln 2^infty duu
Esse integral diverge porque
integralln 2^T duu = ln u |ln2^T = ln T - ln(ln 2) to infty quando Ttoinfty

Passo 5

Pelo teste da integral, como o integral impróprio diverge, a série
sumn=2^infty 1n ln n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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