Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln (n+1)}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln (n+1)}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries infinitas, e o teste mais direto aqui é o teste da divergência, que exige que o termo geral tenda a zero se a série for convergente.
Passo 2
Denotemos o termo geral por
Para que a série converja, é necessário que
Vamos calcular esse limite. Como tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limite, temos uma forma
, então podemos usar o Teorema de L’Hôpital passando para a variável contínua
:
Passo 3
Como
o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.
Resposta
A série diverge.