Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty nln(n+1)
converge ou diverge. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries infinitas, e o teste mais direto aqui é o teste da divergência, que exige que o termo geral tenda a zero se a série for convergente.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = nln(n+1)
Para que a série converja, é necessário que
limntoinfty an = 0
Vamos calcular esse limite. Como tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limite, temos uma forma infty/infty, então podemos usar o Teorema de L’Hôpital passando para a variável contínua x:
limxtoinfty xln(x+1) ;stackrelH=; limxtoinfty ddx(x)ddxl(ln(x+1)r) ;=; limxtoinfty 1tfrac1x+1 ;=; limxtoinfty(x+1) ;=; infty

Passo 3

Como
limntoinftyan = inftyneq 0,
o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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