Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{2 n-1}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{2 n-1}
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Aplicamos o critério de Leibniz, que exige que, para
:
-
para todo . - A sequência
é decrescente, pois
-
.
Como todas as condições do critério de Leibniz estão atendidas, a série alternada converge.
Passo 3
Agora testamos a convergência absoluta, analisando
Esta série diverge, pois é comparável à série harmônica (ou pelo teste da integral). Logo, a série original não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).