Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1,12n-1.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o critério de Leibniz, que exige que, para an=tfrac12n-1:
  1. an>0 para todo n.
  2. A sequência an é decrescente, pois
12(n+1)-1=12n+1<12n-1
  1. limntoinftyan=limntoinfty12n-1=0.
    Como todas as condições do critério de Leibniz estão atendidas, a série alternada converge.

Passo 3

Agora testamos a convergência absoluta, analisando
sumn=1^inftygl|(-1)^n+12n-1gr| =sumn=1^infty12n-1
Esta série diverge, pois é comparável à série harmônica (ou pelo teste da integral). Logo, a série original não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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