Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=0^infty e^-n n !

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a série converge ou diverge. O assunto é convergência de séries numéricas, e como temos fatoriais e potências, o critério da razão é a ferramenta certa.

Passo 2

O teste da razão diz que, para an positivo, se
L = limntoinftyan+1an,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Aqui temos an = e^-nn!. Vamos calcular
an+1an = e^-(n+1)(n+1)!e^-nn! = e^-1,(n+1)
Agora tiramos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftye^-1(n+1) = infty

Passo 4

Como L=infty>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da razão.

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