Verifique se o campo
é conservativo. Nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ele deriva.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é campos conservativos e potenciais, e vamos usar o cálculo do rotacional e integração para resolver.
Passo 2
Como o domínio de
é todo
(que é simplesmente conexo), basta calcular o rotacional: seja
e
. O rotacional em duas dimensões é dado por
. Calculando, temos:
Passo 3
Como o rotacional é zero em um domínio simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar o potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
Passo 5
Substituindo de volta, obtemos o potencial.
Resposta
O campo é conservativo e um potencial é
.