Verifique se o campo F é conservativo. Nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ele deriva. F=x i+y j.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo F(x,y)=x, i + y, j é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é campos conservativos e potenciais, e vamos usar o cálculo do rotacional e integração para resolver.

Passo 2

Como o domínio de F é todo R^2 (que é simplesmente conexo), basta calcular o rotacional: seja P(x,y)=x e Q(x,y)=y. O rotacional em duas dimensões é dado por dfracpartial Qpartial x-dfracpartial Ppartial y. Calculando, temos:
dfracpartial Qpartial x-dfracpartial Ppartial y=dfracpartial ypartial x-dfracpartial xpartial y=0-0=0

Passo 3

Como o rotacional é zero em um domínio simplesmente conexo, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar o potencial phi(x,y) tal que nabla phi= F, integramos P(x,y)=x em relação a x:
phi(x,y)=integral x,dx=x^22+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Em seguida, usamos a condição dfracpartial phipartial y=Q(x,y)=y.
partial phipartial y=h'(y)=yLongrightarrow h'(y)=yLongrightarrow h(y)=y^22+C

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos o potencial.
phi(x,y)=x^22+y^22+C

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é phi(x,y)=tfracx^2+y^22+C.

Exercícios relacionados