Verifique que campo vetorial
é campo solenoidal e acha o seu potencial vetorial
:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente conferir que o campo vetorial
é solenoidal (ou seja, tem divergência zero) e, em seguida, achar um potencial vetorial
tal que
Conteúdo: cálculo vetorial (divergência e rotacional). Vamos precisar:
- Calcular
. - Resolver as equações do rotacional para achar
.
Passo 2
Primeiro, verificamos a divergência:
Calculemos cada termo:
Somando dá
ou seja, o campo é mesmo solenoidal.
Passo 3
Agora, queremos
tal que
Para simplificar, a gente pode escolher
. Isso já reduz as contas.
-
Da segunda componente do rotacional:
vira ,
logonão depende de . -
Da primeira componente:
.
Comonão tem , não gera termo em .
Então quem faz o papel é:
Integrando em
:
- Da terceira componente:
.
Como, temos
Mas
, então
Para bater com
, precisa de
, ou seja,
depende só de
.
No fim das contas, podemos escolher a parte “livre”
e
(é um gosto de “gauge”), e obtemos
Resposta
O campo
é solenoidal (
) e um potencial vetorial é
pois
.