Verifique que campo vetorial v é campo solenoidal e acha o seu potencial vetorial A :
v=5 x^2 y imath-10 x y z k

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente conferir que o campo vetorial
vec v = 5x^2y,i ;-;10xyz,k
é solenoidal (ou seja, tem divergência zero) e, em seguida, achar um potencial vetorial nabla times A ;=;vec v tal que
Conteúdo: cálculo vetorial (divergência e rotacional). Vamos precisar:
  1. Calcular .
  2. Resolver as equações do rotacional para achar .

Passo 2

Primeiro, verificamos a divergência:
nablacdotvec v ;=;partialpartial x(5x^2y) +partialpartial y(0) +partialpartial z(-10xyz)
Calculemos cada termo:
partialpartial x(5x^2y)=10xy, partialpartial y(0)=0, partialpartial z(-10xyz)=-10xy
Somando dá
nablacdotvec v = 10xy -10xy = 0,
ou seja, o campo é mesmo solenoidal.

Passo 3

Agora, queremos nablatimesA =l(partialy Az-partialz Ay,; partialz Ax-partialx Az,; partialx Ay-partialy Axr) =(5x^2y,,0,,-10xyz) tal que
-partialz Ay = 5x^2y Longrightarrow partialz Ay = -5x^2y
Para simplificar, a gente pode escolher Ay = -5x^2y,z + g(x,y) . Isso já reduz as contas.
  1. Da segunda componente do rotacional:
    partialx Ay = -10xyz vira partialx Ay = -10xyz + partial gpartial x ,
    logo boxedA = l(0,,-5x^2y,z,;0r) não depende de .
  2. Da primeira componente:
    .
    Como não tem , não gera termo em .
    Então quem faz o papel é :
Integrando em :
  1. Da terceira componente:
    .
    Como , temos
Mas , então
Para bater com , precisa de , ou seja, depende só de .
No fim das contas, podemos escolher a parte “livre” e (é um gosto de “gauge”), e obtemos

Resposta

O campo A=(0,,-5x^2y,z,,0), é solenoidal ( ) e um potencial vetorial é
pois .

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