Construir um polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, para a função y= sen(pi x), escolhendo os pontos x0=0, x1=1 / 6, x2=1 / 4 e x3=1 / 2. Use isso para obter um valor aproximado para sen(pi / 5) e sen(pi / 12). Estime o erro em cada caso.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente montar o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 3 para a função
nos pontos
f(x)=sen(pi x)
e usar esse polinômio pra aproximar e .
Conteúdo envolvido: interpolação de Lagrange, fórmula do polinômio, avaliação numérica e estimativa de erro usando o termo de resto. A gente vai precisar da definição dos x0=0, x1=tfrac16, x2=tfrac14, x3=tfrac12,, dos valores R3(x)=f^(4)(xi)4!,(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) e da fórmula do erro

Passo 2

Primeiro, calcula os valores nos nós:
Agora a gente monta os f(x0)=sen(0)=0,, cada um sendo
f(x1)=senl(picdottfrac16r)=senl(tfracpi6r)=tfrac12,

Passo 3

Sem pular contas, os quatro polinômios básicos ficam:
P3(x)=0cdot L0(x)+tfrac12,L1(x)+tfracraiz22,L2(x)+1cdot L3(x)



Logo o polinômio de grau 3 é

Passo 4

Hora de aproximar:
  1. Para :
    • Calculo cada e multiplico por .
    • .
    • O valor exato é , então já dá pra ver que tá bem pertinho.
  2. Para :
    • Mesma jogada de calcular .
    • .
    • O valor exato .

Passo 5

Estimativa de erro:
O quarto derivado de é
logo em módulo f^(4)(x)=pi^4sen(pi x),. O resto satisfaz
|R3(x)|<=pi^44!,l|x(x-tfrac16)(x-tfrac14)(x-tfrac12)r|
  • Em |R3(0.2)|<=pi^424cdot0.0001approx4.06times10^-4 o produto |R3(0.08333)|<=pi^424cdot0.00048approx1.95times10^-3, então
  • Em o produto , então

Resposta

Usando o polinômio de Lagrange de grau 3 obtemos as aproximações

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