Construir um polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, para a função
, escolhendo os pontos
e
. Use isso para obter um valor aproximado para
e
. Estime o erro em cada caso.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente montar o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 3 para a função
nos pontos
e usar esse polinômio pra aproximar e .
Conteúdo envolvido: interpolação de Lagrange, fórmula do polinômio, avaliação numérica e estimativa de erro usando o termo de resto. A gente vai precisar da definição dos , dos valores
e da fórmula do erro
Conteúdo envolvido: interpolação de Lagrange, fórmula do polinômio, avaliação numérica e estimativa de erro usando o termo de resto. A gente vai precisar da definição dos
Passo 2
Primeiro, calcula os valores nos nós:
Agora a gente monta os
, cada um sendo
Passo 3
Sem pular contas, os quatro polinômios básicos ficam:
Logo o polinômio de grau 3 é
Logo o polinômio de grau 3 é
Passo 4
Hora de aproximar:
-
Para
: - Calculo cada
e multiplico por . - Dá
. - O valor exato é , então já dá pra ver que tá bem pertinho.
- Calculo cada
-
Para
: - Mesma jogada de calcular
. - Dá
. - O valor exato .
- Mesma jogada de calcular
Passo 5
Estimativa de erro:
O quarto derivado de é
O quarto derivado de é
logo em módulo
. O resto satisfaz
- Em
o produto|R3(0.2)|<=pi^424cdot0.0001approx4.06times10^-4 , então|R3(0.08333)|<=pi^424cdot0.00048approx1.95times10^-3 - Em
o produto , então
Resposta
Usando o polinômio de Lagrange de grau 3 obtemos as aproximações