Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=2 i+cos (x y) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y) = 2,i + cos(xy),j é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial associada. O conteúdo aqui é campo conservativo em R^2 e vamos precisar usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo: P(x,y)=2 e Q(x,y)=cos(xy). Para ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, deve valer partial P/partial y = partial Q/partial x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

partial Ppartial y = partialpartial y(2)=0,

Passo 5

partial Qpartial x = partialpartial xl(cos(xy)r) = -sin(xy)cdot y

Passo 6

Como 0 neq -ysin(xy) em geral no domínio (exceto em curvas particulares), temos partial P/partial y neq partial Q/partial x. Portanto o campo não é conservativo.

Passo 7

Logo, não existe função potencial associada globalmente.

Resposta

O campo não é conservativo, logo não existe função potencial.

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