Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e pede para verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, obter uma função potencial
tal que
Para isso, vamos usar o critério
(em domínio simplesmente conexo) e depois integrar.
Passo 2
Calculamos as componentes do rotacional
:
Como todas as componentes satisfazem
temos
. Logo,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos a função potencial
tal que
Integramos em
:
onde
é função “constante” em relação a
.
Passo 4
Impondo
vemos que
. Assim
com
função só de
.
Passo 5
Finalmente, impomos
o que dá
. Logo
, constante arbitrária.
Portanto uma função potencial (desprezando a constante) é
Resposta
A campo
é conservativo, e uma função potencial associada é