Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=(2 x y^2 z^2+z) i+(2 x^2 y z^2+1) j+(2 x^2 y^2 z+x) k.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr)
com
P = 2,x,y^2z^2 + z, Q = 2,x^2y,z^2 + 1, R = 2,x^2y^2z + x,
e pede para verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, obter uma função potencial f(x,y,z) tal que
nabla f = F
Para isso, vamos usar o critério nablatimesF=0 (em domínio simplesmente conexo) e depois integrar.

Passo 2

Calculamos as componentes do rotacional nablatimesF:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2x,y^2z^2+zr) = 4x,y,z^2, partial Qpartial x = partialpartial xl(2x^2y,z^2+1r) = 4x,y,z^2,
partial Ppartial z = partialpartial zl(2x,y^2z^2+zr) = 4x,y^2z + 1, partial Rpartial x = partialpartial xl(2x^2y^2z + xr) = 4x,y^2z + 1,
partial Qpartial z = partialpartial zl(2x^2y,z^2+1r) = 4x^2y,z, partial Rpartial y = partialpartial yl(2x^2y^2z + xr) = 4x^2y,z
Como todas as componentes satisfazem
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y,
temos nablatimesF = 0. Logo, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos a função potencial f tal que
partial fpartial x = P = 2x,y^2z^2 + z
Integramos em x:
f(x,y,z) = integrall(2x,y^2z^2 + zr),dx = x^2y^2z^2 + x,z + g(y,z),
onde g(y,z) é função “constante” em relação a x.

Passo 4

Impondo
partial fpartial y = 2x^2y,z^2 + partial gpartial y stackrel!= Q = 2x^2y,z^2 + 1,
vemos que partial g/partial y = 1. Assim
g(y,z) = y + h(z),
com h(z) função só de z.

Passo 5

Finalmente, impomos
partial fpartial z = 2x^2y^2z + x + h'(z) stackrel!= R = 2x^2y^2z + x,
o que dá h'(z)=0. Logo h(z)=C, constante arbitrária.
Portanto uma função potencial (desprezando a constante) é
f(x,y,z) = x^2y^2z^2 + x,z + y

Resposta

A campo F é conservativo, e uma função potencial associada é
f(x,y,z) = x^2y^2z^2 + x,z + y

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