Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y)=\left(3 x^{2}+2 y-y^{2} e^{x}\right) \hat{i}+\left(2 x-2 y e^{x}\right) \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo
\vec{F}(x,y) = P(x,y)\,\hat\imath + Q(x,y)\,\hat\jmath
com
P(x,y)=3x^{2}+2y - y^{2}e^{x}, \quad Q(x,y)=2x - 2y e^{x},
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}. O domínio de \vec{F} é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, então basta mostrar \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2y - y^{2}e^{x}\bigr) =2 - 2y\,e^{x},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x - 2y\,e^{x}\bigr) =2 - 2y\,e^{x}.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, concluímos que \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int P(x,y)\,\mathrm{d}x =\int\bigl(3x^{2}+2y - y^{2}e^{x}\bigr)\,\mathrm{d}x =x^{3}+2xy - y^{2}e^{x} + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Agora obrigamos \partial f/\partial y=Q:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x - 2y\,e^{x} + h'(y) \overset{!}{=}2x - 2y\,e^{x}.
Daí segue h'(y)=0, logo h(y)=C constante.

Resposta

A função potencial associada ao campo \vec{F} é
f(x,y)=x^{3}+2xy - y^{2}e^{x} + C,
onde C é constante arbitrária.

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