Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
com
e
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial tal que
. Para isso vamos usar a condição
e depois integrar.
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
Como
e o domínio é todo (simplesmente conexo),
é conservativo.
Como
e o domínio é todo
Passo 3
Como
é conservativo, existe
com
e
. Integramos
em
:
onde
é uma “constante” de integração dependendo só de
.
Passo 4
Para determinar
, impomos
. Calculando
.
Igualando a vem
, logo
(constante).
Igualando a
Resposta
A função potencial associada é, a menos de uma constante
,