Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y)=\left(y e^{x}+\operatorname{Sen}(y)\right) \hat{i}+\left(e^{x}+x \operatorname{Cos}(y)\right) \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \vec{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) com \;P(x,y)=y e^x+\sin y\; e \;Q(x,y)=e^x+x\cos y\;
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Para isso vamos usar a condição \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x e depois integrar.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^x+\sin y\bigr) =e^x+\cos y \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x+x\cos y\bigr) =e^x+\cos y
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x
e o domínio é todo \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Como \vec{F} é conservativo, existe \varphi(x,y) com \phi_x=P e \phi_y=Q. Integramos \phi_x=P em x:
\varphi(x,y)=\int\bigl(y e^x+\sin y\bigr)\,dx =y e^x + x\sin y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração dependendo só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), impomos \phi_y=Q. Calculando \displaystyle \phi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^x + x\sin y + h(y)\bigr) =e^x + x\cos y + h'(y).
Igualando a Q=e^x+x\cos y vem \;h'(y)=0\;, logo h(y)=C (constante).

Resposta

A função potencial associada é, a menos de uma constante C,
\varphi(x,y)=y e^x + x\sin y + C.

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