Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I= elementos de \mathbb{Z} que são divisores de 100 e A=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado nos dá o anel A=(\mathbb{Z},+,\cdot) e o subconjunto
I = \{\,d\in\mathbb{Z}\mid d\text{ divide }100\}.
Queremos verificar se I é um ideal de \mathbb{Z}. Para isso precisamos checar duas coisas principais:
  1. I é um subgrupo aditivo de \mathbb{Z} (i.e.\ contém 0, é fechado em soma e em inversos).
  2. I absorve a multiplicação por elementos de \mathbb{Z}: se d\in I e n\in\mathbb{Z}, então n\cdot d\in I.

Passo 2

Verificamos primeiro se 0\in I. Para isso, precisaríamos de um inteiro k tal que
100 = 0 \cdot k.
Mas não existe k\in\mathbb{Z} que satisfaça essa equação, logo 0\notin I. Como um ideal deve conter 0, já falhamos nesse requisito.

Passo 3

Podemos reforçar a conclusão mostrando que I nem sequer é fechado sob soma. Note que 1\in I e 2\in I, pois 1 e 2 dividem 100. Mas
1 + 2 = 3,
e 3 não divide 100. Logo 1+2\notin I, falhando a condição de subgrupo aditivo.

Resposta

I não é ideal em \mathbb{Z}.

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