Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I=\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mid f(-1)=0\}, A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
I = \{f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} \mid f(-1)=0\}
é um ideal do anel
A = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}
com as operações usuais de soma e multiplicação ponto a ponto.
Para isso, lembramos que I é ideal se e somente se:
  1. I é subgrupo aditivo de A: contém a função zero, é fechado em soma e inverso aditivo.
  2. Para todo f\in I e qualquer g\in A, o produto g\cdot f (e f\cdot g) pertence a I.

Passo 2

Mostramos que I é subgrupo aditivo.
A função zero \mathbf{0}\colon x\mapsto 0 satisfaz \mathbf{0}(-1)=0, logo \mathbf{0}\in I.
Se f,g\in I, então
(f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=0+0=0,
ou seja, f+g\in I.
Além disso, para f\in I,
(-f)(-1) = -\,f(-1) = -0 = 0,
então -f\in I.
Portanto I é subgrupo aditivo de A.

Passo 3

Agora verificamos a propriedade de absorção.
Tomemos f\in I (ou seja, f(-1)=0) e g\in A qualquer. Como a multiplicação em A é ponto a ponto,
(g\cdot f)(-1) = g(-1)\,f(-1) = g(-1)\cdot 0 = 0.
Logo g\cdot f\in I. De modo análogo f\cdot g\in I.

Resposta

Sim, I é um ideal do anel A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}.

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