Verifique se
é um ideal do anel (
) em cada um dos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um ideal do anel
com as operações usuais de soma e multiplicação ponto a ponto.
Para isso, lembramos que é ideal se e somente se:
Para isso, lembramos que
-
é subgrupo aditivo de : contém a função zero, é fechado em soma e inverso aditivo. - Para todo
e qualquer , o produto (e ) pertence a .
Passo 2
Mostramos que
é subgrupo aditivo.
A função zero satisfaz
, logo
.
Se , então
A função zero
Se
ou seja,
.
Além disso, para ,
Além disso, para
então
.
Portanto é subgrupo aditivo de
.
Portanto
Passo 3
Agora verificamos a propriedade de absorção.
Tomemos (ou seja,
) e
qualquer. Como a multiplicação em
é ponto a ponto,
Tomemos
Logo
. De modo análogo
.
Resposta
Sim,
é um ideal do anel
.