Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I=3 \mathbb{Z}, A=\mathbb{Z};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se I=3\mathbb{Z} é um ideal do anel A=\mathbb{Z}.
Conteúdo da matéria: definição de ideal em anéis comutativos unitários, que exige duas coisas:
  1. I é subgrupo do grupo aditivo de A.
  2. Para todo r\in A e todo x\in I, o produto r\cdot x (e x\cdot r) pertence a I.

Passo 2

Verificação de subgrupo aditivo:
– Fechamento sob adição: dados 3m,3n\in3\mathbb{Z},
3m + 3n = 3(m+n)\in3\mathbb{Z}.
– Existência de inverso: para 3n\in3\mathbb{Z},
-(3n) = 3(-n)\in3\mathbb{Z}.
– O elemento neutro 0=3\cdot0 também está em 3\mathbb{Z}.
Logo, 3\mathbb{Z} é subgrupo de (\mathbb{Z},+).

Passo 3

Verificação da propriedade de absorção:
seja r\in\mathbb{Z} e x=3n\in3\mathbb{Z}. Então
r\cdot x = r\cdot(3n) = 3\,(r n)\in3\mathbb{Z},
e do mesmo modo x\cdot r\in3\mathbb{Z}. Portanto, todo produto de um elemento de A com um de I fica em I.

Resposta

Sim. I=3\mathbb{Z} é ideal do anel \mathbb{Z}.

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