Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, ux y=uy x.
u=sen^-1(x y^2)

Passo 1

O enunciado pede para checar o Teorema de Clairaut em
para
u(x,y)=sen^{-1}(x y^2), ou seja, mostrar que ∂^2u/∂y∂x = ∂^2u/∂x∂y. Vamos usar regra da cadeia e derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro encontramos ∂u/∂x. Como u = sen^{-1}(x y^2), pela regra da cadeia:
∂u∂x = 1raiz1-(x y^2)^2 cdot ∂∂x(x y^2) = y^2raiz1 - x^2 y^4

Passo 3

Agora calculamos ∂^2u/∂y∂x, ou seja, derivamos ∂u/∂x em relação a y. Escrevendo ∂u/∂x = y^2 (1 - x2y4)^{-1/2} e aplicando regra do produto e cadeia:
∂^2u∂y∂x &= 2y (1 - x^2y^4)^-1/2 + y^2 l(-tfrac12r)(1 - x^2y^4)^-3/2(-4x^2y^3) [6pt] &= 2y (1 - x^2y^4)^-1/2 + 2x^2y^5 (1 - x^2y^4)^-3/2 [6pt] &= 2y(1 - x^2y^4) + 2x^2y^5(1 - x^2y^4)^3/2 = 2y(1 - x^2y^4)^3/2

Passo 4

Em seguida calculamos ∂u/∂y. Pela regra da cadeia novamente:
∂u∂y = 1raiz1 - x^2y^4 cdot ∂∂y(x y^2) = 2xyraiz1 - x^2y^4

Passo 5

Agora derivamos ∂u/∂y em relação a x para obter ∂^2u/∂x∂y. Escrevendo ∂u/∂y = 2xy (1 - x2y4)^{-1/2} e aplicando produto e cadeia:
∂^2u∂x∂y &= 2y (1 - x^2y^4)^-1/2 + 2xy l(-tfrac12r)(1 - x^2y^4)^-3/2(-2x y^4) [6pt] &= 2y (1 - x^2y^4)^-1/2 + 2x^2y^5 (1 - x^2y^4)^-3/2 [6pt] &= 2y(1 - x^2y^4) + 2x^2y^5(1 - x^2y^4)^3/2 = 2y(1 - x^2y^4)^3/2

Passo 6

Como ∂^2u/∂y∂x e ∂^2u/∂x∂y coincidem em
2y(1 - x^2y^4)^3/2,
o Teorema de Clairaut está confirmado.

Resposta

\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=\frac{2y}{(1 - x2y4)^{3/2}}

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