Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para checar o Teorema de Clairaut em
para
u(x,y)=sen^{-1}(x y^2), ou seja, mostrar que ∂^2u/∂y∂x = ∂^2u/∂x∂y. Vamos usar regra da cadeia e derivadas parciais de segunda ordem.
para
u(x,y)=sen^{-1}(x y^2), ou seja, mostrar que ∂^2u/∂y∂x = ∂^2u/∂x∂y. Vamos usar regra da cadeia e derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro encontramos ∂u/∂x. Como u = sen^{-1}(x y^2), pela regra da cadeia:
Passo 3
Agora calculamos ∂^2u/∂y∂x, ou seja, derivamos ∂u/∂x em relação a y. Escrevendo ∂u/∂x = y^2 (1 - x2y4)^{-1/2} e aplicando regra do produto e cadeia:
Passo 4
Em seguida calculamos ∂u/∂y. Pela regra da cadeia novamente:
Passo 5
Agora derivamos ∂u/∂y em relação a x para obter ∂^2u/∂x∂y. Escrevendo ∂u/∂y = 2xy (1 - x2y4)^{-1/2} e aplicando produto e cadeia:
Passo 6
Como ∂^2u/∂y∂x e ∂^2u/∂x∂y coincidem em
o Teorema de Clairaut está confirmado.
Resposta
\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=\frac{2y}{(1 - x2y4)^{3/2}}