Verifique se o conjunto B=v1, v2, v3, com v1=(2,-1,5) e v2=(3,-4,8) e v3=(4,-13,9), é base para o espaço R^3.
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
  1. O conjunto gera o espaço
  2. O conjunto é Linearmente Independente

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
;B=v1,v2,v3, com
v1=(2,-1,5), v2=(3,-4,8), v3=(4,-13,9),
é uma base de R^3.
Para isso precisamos mostrar dois pontos:
  1. B gera R^3, ou seja, dado qualquer (x,y,z)inR^3 existe (a,b,c) tal que
    ,a,v1+b,v2+c,v3=(x,y,z)
  2. B é linearmente independente, ou seja, a única solução de
    ,a,v1+b,v2+c,v3=(0,0,0)
    é a=b=c=0.
    Como o enunciado proíbe o uso de determinantes, vamos usar o método de escalonamento de Gauss em sistemas lineares.

Passo 2

(Prova de que B gera R^3)
Considere o sistema
a,(2,-1,5)+b,(3,-4,8)+c,(4,-13,9)=(x,y,z),
que em forma de matriz aumentada fica
(ccc|c 2 & 3 & 4 & x -1 & -4 & -13 & y 5 & 8 & 9 & z )
Aplicamos operações de linha para escalonar sem introduzir denominadores grandes:
  1. L2 2L2+L1:
(ccc|c 2 & 3 & 4 & x 0 & -5 & -22 & 2y+x 5 & 8 & 9 & z )
  1. L3 5L1-2L3:
(ccc|c 2 & 3 & 4 & x 0 & -5 & -22 & 2y+x 0 & -1 & 2 & 5x-2z )
  1. L3 5L3-L2:
(ccc|c 2 & 3 & 4 & x 0 & -5 & -22 & 2y+x 0 & 0 & 32 & 24x-2y-10z )
Não aparece nenhuma linha do tipo (0;0;0mid astneq0), logo o sistema é sempre compatível para qualquer (x,y,z). Assim B gera R^3.

Passo 3

(Prova de que B é linearmente independente)
Agora consideramos
a,v1+b,v2+c,v3=(0,0,0),
isto é, o mesmo sistema com x=y=z=0. Repetindo as mesmas operações de Gauss obtemos em última linha
(0;0;32mid 0),
de onde segue que 32c=0implies c=0. Retrocedendo encontramos b=0 e a=0. Logo a única solução é a trivial, o que mostra que B é linearmente independente.

Passo 4

Concluímos que B gera R^3 e é linearmente independente. Portanto B é uma base de R^3.

Resposta

O conjunto B=v1,v2,v3 é base de R^3.

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