Verifique se o conjunto , com e e , é base para o espaço .
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
O conjunto gera o espaço
O conjunto é Linearmente Independente
Passo 1
O enunciado pede para verificar se , com
é uma base de .
Para isso precisamos mostrar dois pontos:
gera , ou seja, dado qualquer existe tal que
é linearmente independente, ou seja, a única solução de
é .
Como o enunciado proíbe o uso de determinantes, vamos usar o método de escalonamento de Gauss em sistemas lineares.
Passo 2
(Prova de que gera )
Considere o sistema
que em forma de matriz aumentada fica
Aplicamos operações de linha para escalonar sem introduzir denominadores grandes:
Não aparece nenhuma linha do tipo (0;0;0mid astneq0), logo o sistema é sempre compatível para qualquer (x,y,z). Assim B gera R^3.
Passo 3
(Prova de que B é linearmente independente)
Agora consideramos
a,v1+b,v2+c,v3=(0,0,0),
isto é, o mesmo sistema com x=y=z=0. Repetindo as mesmas operações de Gauss obtemos em última linha
(0;0;32mid 0),
de onde segue que 32c=0implies c=0. Retrocedendo encontramos b=0 e a=0. Logo a única solução é a trivial, o que mostra que B é linearmente independente.
Passo 4
Concluímos que B gera R^3 e é linearmente independente. Portanto B é uma base de R^3.