Verifique se a transformação T: R^2 R^2, dada por T(x, y)=(-2 y, 3 x) é linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(-2y,3x)
e pede para verificar se ela é linear. O que precisamos mostrar é que ela satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores (x1,y1),(x2,y2) e escalar c:
  1. Aditividade: T((x1,y1)+(x2,y2))=T(x1,y1)+T(x2,y2).
  2. Homogeneidade: T(c,(x,y))=c,T(x,y).

Passo 2

Verificação da aditividade. Dados (x1,y1) e (x2,y2), temos
T((x1,y1)+(x2,y2))=T(x1+x2,;y1+y2)
pelo enunciado, isto é
T(x1+x2,;y1+y2)=l(-2(y1+y2),;3(x1+x2)r)
Distribuindo, obtemos
(-2y1-2y2,;3x1+3x2) =(-2y1,3x1)+(-2y2,3x2) =T(x1,y1)+T(x2,y2)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e (x,y)inR^2. Então
Tl(c,(x,y)r)=T(cx,cy)
pelo enunciado, isto é
T(cx,cy)=l(-2(cy),;3(cx)r)=(c(-2y),;c(3x))=c,(-2y,3x)=c,T(x,y)

Passo 4

Como tanto a propriedade da aditividade quanto a da homogeneidade estão satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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