Verifique se o conjunto e é base para o espaço
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
O conjunto gera o espaço
O conjunto é Linearmente Independente
Passo 1
O enunciado pede para verificar se , com
é base de . Num espaço de polinômios de grau a dimensão é , logo para ser base um conjunto deve gerar todo o espaço e ser linearmente independente. Vamos usar eliminação de Gauss, escrevendo cada em coordenadas na base padrão .
Passo 2
As coordenadas de cada vetor na base são:
Passo 3
Para testar geração, escrevemos um polinômio genérico
como combinação
A matriz aumentada correspondente é
A última equação diz . Logo não conseguimos gerar polinômios cujo coeficiente de seja não nulo. Portanto não gera .
Passo 4
Para testar independência linear, consideramos o sistema homogêneo
Da segunda equação alpha=8gamma. Substituindo na primeira vem 24gamma+4beta=0, isto é beta=-6gamma. Na terceira obtemos 2(-6gamma)+28gamma=16gamma=0, logo gamma=0. Daí alpha=beta=0. Só há a solução trivial, então D é linearmente independente.
Resposta
O conjunto D é linearmente independente, mas não gera todo P3 (não alcança termos em x^3). Portanto D não é base de P3.