Verifique se o conjunto D=v1, v2, v3, v1=3-x, v2=4+2 x^2 e v3=8 x+28 x^2 é base para o espaço P3
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
  1. O conjunto gera o espaço
  2. O conjunto é Linearmente Independente

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
D=v1,v2,v3, com
v1=3-x, v2=4+2x^2, v3=8x+28x^2,
é base de P3. Num espaço de polinômios de grau <=3 a dimensão é 4, logo para ser base um conjunto deve gerar todo o espaço e ser linearmente independente. Vamos usar eliminação de Gauss, escrevendo cada vi em coordenadas na base padrão 1,x,x^2,x^3.

Passo 2

As coordenadas de cada vetor na base 1,x,x^2,x^3 são:
[v1]=(3,,-1,,0,,0)
[v2]=(4,,0,,2,,0)
[v3]=(0,,8,,28,,0)

Passo 3

Para testar geração, escrevemos um polinômio genérico
como combinação
A matriz aumentada correspondente é
A última equação diz . Logo não conseguimos gerar polinômios cujo coeficiente de seja não nulo. Portanto não gera .

Passo 4

Para testar independência linear, consideramos o sistema homogêneo
3alpha+4beta+0gamma=0, -,alpha+0beta+8gamma=0, 0alpha+2beta+28gamma=0, 0alpha+0beta+0gamma=0
Da segunda equação alpha=8gamma. Substituindo na primeira vem 24gamma+4beta=0, isto é beta=-6gamma. Na terceira obtemos 2(-6gamma)+28gamma=16gamma=0, logo gamma=0. Daí alpha=beta=0. Só há a solução trivial, então D é linearmente independente.

Resposta

O conjunto D é linearmente independente, mas não gera todo P3 (não alcança termos em x^3). Portanto D não é base de P3.

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