Verifique se a transformação T: R^3 R^2, dada por T(x, y, z)=(-2 y+z, 3 x-z) é linear.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação Tcolon R^3to R^2 definida por
T(x,y,z)=(-2y+z,;3x-z)
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se para quaisquer u,vinR^3 e qualquer escalar cinR vale
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u)

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2),
e aplicando T obtemos
T(u+v) =l(-2(y1+y2)+(z1+z2),;3(x1+x2)-(z1+z2)r)
Distribuindo, isso vira
T(u+v) =l(-2y1+z1,;3x1-z1r) ;+; l(-2y2+z2,;3x2-z2r) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y,z). Então
c,u=(c,x,;c,y,;c,z),
e
T(c,u) =l(-2(cy)+(cz),;3(cx)-(cz)r) =l(c(-2y+z),;c(3x-z)r) =c,T(x,y,z)
Isso confirma T(c,u)=c,T(u).

Passo 4

Como satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear. Além disso, podemos exibi-la por matriz
o que reforça que se trata de um mapa linear.

Resposta

A transformação T é linear.

Exercícios relacionados