Verifique se a transformação
, dada por
é linear.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
definida por
Queremos verificar se
é linear, ou seja, se para quaisquer
e qualquer escalar
vale
Passo 2
Verificação da aditividade. Sejam
e
. Então
e aplicando
obtemos
Distribuindo, isso vira
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Isso confirma
.
Passo 4
Como
satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear. Além disso, podemos exibi-la por matriz
o que reforça que se trata de um mapa linear.
Resposta
A transformação
é linear.