Verifique que o conjunto
formado pelas matrizes
cujas entradas são todas iguais é subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço de
.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
. O vetor zero de
pertence a
.
.
é fechado sob soma de vetores.
.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
Passo 2
Observe que toda matriz em
pode ser escrita como
Em particular, para
temos
que é a matriz zero de
. Logo, o vetor zero está em
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
Então
que é novamente uma matriz de
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
Temos
que também pertence a
.
Resposta
Portanto,
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, logo é subespaço vetorial de
.