Verifique que o conjunto U formado pelas matrizes 2 times 2 cujas entradas são todas iguais é subespaço vetorial de M2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
U = a & a a & a : ainR
é subespaço de M2times2.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
1. O vetor zero de M2times2 pertence a U.
2. U é fechado sob soma de vetores.
3. U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Observe que toda matriz em U pode ser escrita como
a,E,onde E = 1 & 11 & 1 e ainR
Em particular, para a=0 temos
0cdot E = 0 & 00 & 0,
que é a matriz zero de M2times2. Logo, o vetor zero está em U.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
Então
que é novamente uma matriz de .

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja e
Temos
que também pertence a .

Resposta

Portanto, U contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, logo é subespaço vetorial de M2times2.

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