Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(ii) B=e^t, te^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções B=e^t,,t e^t é linearmente dependente ou independente no espaço vetorial C(R) de todas as funções contínuas em R. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: dizer que B é independente significa que, se uma combinação linear
a,e^t + b,t e^t = 0para todo tinR
implica a=b=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
a,e^t + b,t e^t = 0, forall,tinR,
onde a e b são escalares reais que queremos determinar.

Passo 3

Note que e^t é sempre diferente de zero, então podemos fatorar:
l(a + b,tr),e^t = 0
Como e^tneq0, segue que
a + b,t = 0forall,tinR

Passo 4

A igualdade a + b,t=0 para todo t só é possível se os coeficientes do polinômio em t forem nulos, ou seja,
b=0 e a=0
Isso mostra que a única combinação linear que zera ambas as funções é a trivial.

Resposta

O conjunto e^t,,t e^t é linearmente independente em C(R).

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