Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(ii)
,
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente no espaço vetorial
de todas as funções contínuas em
. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: dizer que
é independente significa que, se uma combinação linear
implica
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
onde
e
são escalares reais que queremos determinar.
Passo 3
Note que
é sempre diferente de zero, então podemos fatorar:
Como
, segue que
Passo 4
A igualdade
para todo
só é possível se os coeficientes do polinômio em
forem nulos, ou seja,
Isso mostra que a única combinação linear que zera ambas as funções é a trivial.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.