Verifique se o conjunto é LI ou LD no espaço indicado:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores X=(0,1,2,0),(1,-1,0,1),(1,0,2,3) em E= R^4 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). O conteúdo envolvido é independência linear e vamos precisar usar a definição que leva a um sistema homogêneo para as combinações lineares.

Passo 2

Começamos escrevendo uma combinação linear igual a zero: suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(0,1,2,0)+b(1,-1,0,1)+c(1,0,2,3)= (0,0,0,0)

Passo 3

Agora extraímos as equações coordenada a coordenada:
0a + 1b + 1c = 0, 1a - 1b + 0c = 0, 2a + 0b + 2c = 0, 0a + 1b + 3c = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema, da primeira equação temos b + c = 0, da segunda a - b = 0, da terceira 2a + 2c = 0 que dá a + c = 0, e da quarta b + 3c = 0. Substituindo b=-c e a=b vemos que só a solução a=b=c=0 satisfaz todas as equações.

Passo 5

Como a única solução é trivial, isso mostra que não existe combinação não-nula dos vetores que dê o vetor zero. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Portanto, o conjunto X é linearmente independente em R^4.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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