Verifique se o conjunto é LI ou LD no espaço indicado:

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos o conjunto
X = { v1=(1,0,-1,2,0), v2=(-1,2,5,7,1), v3=(1,1,1,2,3), v4=(5,-6,-17,-17,-3)} em E=R^5. O que cai aqui é o conceito de independência linear: X é linearmente independente se a única combinação hom​ogênea que dá zero é trivial, caso contrário é dependente. Para resolver, precisamos montar uma combinação e verificar se existe solução não trivial.

Passo 2

Estratégia: vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se conseguirmos, temos dependência. Escolhemos v4 e procuramos escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = v4

Passo 3

Montagem do sistema coordenada a coordenada: comparando cada entrada dos vetores, obtemos
a - b + c = 5,
2b + c = -6,
-a + 5b + c = -17,
2a + 7b + 2c = -17,
b + 3c = -3

Passo 4

Resolução do sistema: da segunda e da quinta equações temos
c = -6 - 2b,
b + 3(-6-2b) = -3 implies -5b = 15 implies b = -3,
c = -6 -2(-3) = 0
Substituindo em a - b + c = 5
a + 3 = 5 implies a = 2

Passo 5

Conclusão: achamos a=2, b=-3, c=0, ou seja
[2v_1 - 3v_2 + 0,v_3 = v_4 \quadou\quad 2v_1 - 3v_2 - v_4 = 0.
)
Isso é uma combinação linear não trivial que gera o vetor zero, logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto X é linearmente dependente em R^5.

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