1. Verifique se W=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid y=2 x\right\} é um subespaço vetorial de R^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid y=2x\}
e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Qualquer vetor de W tem a forma (x,2x) para algum x\in\mathbb{R}.
  • A pergunta a responder é: “Sim ou não: W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}?”

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente e didaticamente o que significa ser um subespaço vetorial (sem pular etapas).
Definição prática: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. S contém o vetor nulo de V.
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in S.
Explicando cada item:
  • “Conter o vetor nulo” significa que (0,0) deve pertencer a S (no caso de \mathbb{R}^{2}).
  • “Fechado sob adição” quer dizer que somando dois vetores que satisfazem a condição que define S, o resultado também deve satisfazê-la.
  • “Fechado sob multiplicação por escalar” quer dizer que multiplicar um vetor de S por qualquer número real deve produzir outro vetor que ainda satisfaça a condição que define S.
Se os três itens valem, então S é subespaço. Agora aplicamos isso a W.

Passo 3

Verificar se o vetor nulo pertence a W.
O vetor nulo em \mathbb{R}^{2} é (0,0). Verificamos a condição que define W:
y=2x \quad\text{com}\quad (x,y)=(0,0)\Rightarrow 0 = 2\cdot 0,
que é verdade. Logo (0,0)\in W. Portanto o primeiro requisito (conter o vetor nulo) está satisfeito.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo a passo, com notação e explicação).
Sejam dois vetores quaisquer de W. Escrevemos-os com variáveis para deixar claro:
u=(x_{1},y_{1})\in W\quad\text{e}\quad v=(x_{2},y_{2})\in W.
Como pertencem a W, eles satisfazem
y_{1}=2x_{1}\quad\text{e}\quad y_{2}=2x_{2}.
Agora calculamos a soma:
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
Substituindo as relações y_{1}=2x_{1} e y_{2}=2x_{2}, obtemos
u+v=(x_{1}+x_{2},\,2x_{1}+2x_{2})=(x_{1}+x_{2},\,2(x_{1}+x_{2})).
A coordenada y da soma é exatamente 2 vezes a coordenada x da soma, portanto u+v também satisfaz a forma (x,2x). Assim u+v\in W. Concluímos que W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo).
Seja um vetor arbitrário u=(x,y)\in W. Então y=2x.
Seja c\in\mathbb{R} um escalar qualquer. Multiplicando:
c\,u = (c x,\, c y).
Usando y=2x temos
c\,u = (c x,\, c\cdot 2x)=(c x,\,2(c x)).
Novamente a segunda coordenada é 2 vezes a primeira coordenada, isto é, c\,u tem a forma (x',2x') com x'=c x. Portanto c\,u\in W. Concluímos que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Síntese e conclusão didática.
Mostramos que W contém o vetor nulo, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Esses três itens são suficientes para afirmar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
Um jeito intuitivo de ver isso: W é a reta que passa pela origem com inclinação 2; retas que passam pela origem formam subespaços (porque somar vetores sobre a reta ou multiplicar por escalar mantém-se sobre a mesma reta). Se a reta não passasse pela origem (por exemplo a reta y=2x+1), ela não conteria o vetor nulo e então não seria subespaço.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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