- Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Qualquer vetor de
tem a forma para algum . - A pergunta a responder é: “Sim ou não:
é subespaço vetorial de ?”
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente e didaticamente o que significa ser um subespaço vetorial (sem pular etapas).
Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se:
-
contém o vetor nulo de . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicando cada item:
- “Conter o vetor nulo” significa que
deve pertencer a (no caso de ). - “Fechado sob adição” quer dizer que somando dois vetores que satisfazem a condição que define
, o resultado também deve satisfazê-la. - “Fechado sob multiplicação por escalar” quer dizer que multiplicar um vetor de
por qualquer número real deve produzir outro vetor que ainda satisfaça a condição que define .
Se os três itens valem, então
é subespaço. Agora aplicamos isso a
.
Passo 3
Verificar se o vetor nulo pertence a
.
O vetor nulo em
é
. Verificamos a condição que define
:
que é verdade. Logo
. Portanto o primeiro requisito (conter o vetor nulo) está satisfeito.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo a passo, com notação e explicação).
Sejam dois vetores quaisquer de
. Escrevemos-os com variáveis para deixar claro:
Como pertencem a
, eles satisfazem
Agora calculamos a soma:
Substituindo as relações
e
, obtemos
A coordenada
da soma é exatamente
vezes a coordenada
da soma, portanto
também satisfaz a forma
. Assim
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo).
Seja um vetor arbitrário
. Então
.
Seja um escalar qualquer. Multiplicando:
Seja
Usando
temos
Novamente a segunda coordenada é
vezes a primeira coordenada, isto é,
tem a forma
com
. Portanto
. Concluímos que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Síntese e conclusão didática.
Mostramos que
contém o vetor nulo, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Esses três itens são suficientes para afirmar que
é um subespaço vetorial de
.
Um jeito intuitivo de ver isso:
é a reta que passa pela origem com inclinação
; retas que passam pela origem formam subespaços (porque somar vetores sobre a reta ou multiplicar por escalar mantém-se sobre a mesma reta). Se a reta não passasse pela origem (por exemplo a reta
), ela não conteria o vetor nulo e então não seria subespaço.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.