Verifique se o conjunto W é subespaço de V em cada item abaixo.
W=(x, y, z) in R^3 ; z=x+y; V=R^3

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente ver se
W = l(x,y,z)inR^3 mid z = x + yr
é um subespaço de V=R^3.
Conteúdo: subespaço vetorial.
O que vamos usar: o critério famoso que diz que, pra um conjunto Wsubseteq V ser subespaço, basta checar três coisas:
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado em soma,
  3. W é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, o vetor zero de R^3 é 0=(0,0,0).
Pra ver se 0in W, basta checar a condição z=x+y com x=0 e y=0:
z = 0 + 0 = 0
Como (0,0,0) satisfaz z=x+y, temos 0in W.

Passo 3

Agora, fechamento em soma.
Sejam
u=(x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W
Como estão em W, sabemos
z1 = x1 + y1 e z2 = x2 + y2
Olha a soma:
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Temos
z1 + z2 = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1+x2) + (y1+y2)
Logo (u+v) também satisfaz a condição z = x + y, ou seja, u+vin W.

Passo 4

Por fim, fechamento em multiplicação por escalar.
Pegue um escalar lambdainR e um vetor
u=(x,y,z)in W,
então z = x + y. Multiplicando por lambda:
lambda u = (lambda x,;lambda y,;lambda z)
Como z = x+y, temos
lambda z = lambda(x+y) = lambda x + lambda y,
portanto lambda u também satisfaz o formato z = x + y. Então lambda uin W.

Resposta

Sim, W é subespaço de V=R^3.

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