Verifique se o conjunto W é subespaço de V em cada item abaixo.
W=(x, 0) ; x in R; V=R^2

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
W = (x,0);;;xinR
é subespaço do espaço vetorial
V = R^2,
O assunto é “espaços vetoriais e subespaços”. Pra resolver, a gente vai usar a definição:
  1. W deve conter o vetor zero de V,
  2. W deve ser fechado sob adição,
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em R^2 é (0,0). Para x=0 temos (0,0)in W. Logo, a condição 1 está satisfeita.

Passo 3

Fechamento sob adição:
Pegue dois vetores quaisquer em W, digamos (x1,0) e (x2,0), com x1,x2inR. A soma é
(x1,0) + (x2,0) = (x1 + x2,;0),
Como x1 + x2inR, o resultado está de novo em W. Então W é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um escalar lambdainR e um vetor (x,0)in W. Multiplicando escalarmente,
lambda,(x,0) = (lambda x,;0),
Como lambda xinR, esse vetor também pertence a W. Logo W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
W = (x,0);;xinR
é de fato um subespaço de R^2,.

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